結城浩の日記 - ルソー展と陣取りゲーム・クイズより

前提

将棋盤(9×9のマス目を持つ盤)を使って二人が陣取りゲームをする。自分の番になったとき、空いているマス目（自分の陣地でも相手の陣地でもないマス目）の中からいくつか選んで「自分陣地」にすることができる。一度に自分の陣地にできるのは、「1個」か「隣り合った2個」のいずれかである。隣り合った2個は縦の2個でも横の2個でもよい。パスはできない。自分の番になったとき空いているマス目がひとつもなかったら負け。

問題

この陣取りゲームは、以下のうちどれか。

(A)先手必勝　(B)先手必敗　(C)いずれでもない

9×9の場合も一般のm×nの場合も、いわゆる「真似碁」みたく考えればすぐ分かるのですけど、トーラスの場合とか言われると…。最初、トーラスの場合も同じじゃないかと思ったのですが、3×3とかでやってみるとその考え方じゃ出来ないっぽいです。
というわけでトーラスは置いといて(まあ、つまり逃げたわけです)、n次元のマス(セル?)の場合で一度に置けるのが1〜連続したk個までの場合を考えました。これも同じ考えで、真ん中になんか置ければ先手必勝なんじゃないかと。
つまり全体をa₁×a₂×...×a_nとして、b_i={a_iが奇数なら1,偶数なら2}とおくと、B=b₁×b₂×...×b_nがB≤kなら先手必勝,B>kなら後手必勝。なんか激しく見落としてる気がしないでもないですが。よく考えたらやっぱり違います。
トーラスはあとで考えよう。その前に円柱の場合かな。メビウスの帯とかクラインの壷とか射影平面とかはどうなるかも気になります。