勝手に居残り

今日の位相入門演習の講義で「授業終わった後、話の続き聞きたい人は残ってて」と言われて、次の授業が休講だったので教室にいたら、結局残ってたのは私だけ。
で何の話だったかと言えば、以前あった問題（以下）の話。

距離空間 (X,d) の部分集合 A に対し
A_ε := { x∈X | d(x,A) < ε }
と定めるとき
A, B が (X,d) の閉集合かつ A∩B=φ ⇒ ^∃ε> s.t. A_ε∩A_ε=φ
を示せ
(φ は空集合)

この問題はやっぱり間違っていて正しくは

A, B が (X,d) のコンパクトかつ A∩B=φ ⇒ ^∃ε> s.t. A_ε∩A_ε=φ

だそうで。
A, B がコンパクトなら ^∀a∈A, ^∀b∈B に対し d(a,b) > 0 だけど A, B が単に閉集合だと d(a,b) = 0 になることがあるらしい。「例えばどんな集合だと d(a, b) = 0 になるんですか」と聞いたら「あんまりいい例が思い浮かばない」言われました。 それが知りたかったんだけどなぁ。